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Binäre Festkommazahlen

Rationale Zahlen auf der Bitebene: die Q4-Festkommadarstellung mit vier Vor- und vier Nachkommastellen – vom Stellenwertsystem über Wertebereich und Auflösung bis zur Multiplikation mit Komma-Korrektur. Erst nachlesen, dann in sieben Stufen üben – mit beliebig vielen Aufgaben.

Daten & Codierung – Kursstufe

🎯 Worum geht's? Klasse 11–13 · mehrere Unterrichtsstunden

Nach dieser Seite kannst du …

Kommazahlen als Bitmuster mit festem Komma (Q4) darstellen und zurückrechnen
Wertebereich und Auflösung einer Festkommadarstellung bestimmen
begründen, warum z. B. 0,1 im Binärsystem nur näherungsweise darstellbar ist
Festkommazahlen addieren und multiplizieren und das Komma nach dem Multiplizieren richtig setzen

Vorwissen: Binärzahlen umrechnen, binäres Addieren (Seite „Binäres Rechnen“), Zweierpotenzen

So arbeitest du mit dieser Seite

Nachlesen: Hier im Reiter Informationen findest du alle Grundlagen mit Merksätzen und durchgerechneten Beispielen.
Üben: Im Reiter Darstellung liest und schreibst du Q4-Muster, im Reiter Rechnen addierst und multiplizierst du. Rechne zuerst auf Papier, gib das Ergebnis ein und tippe auf Prüfen (oder Enter).
Eingeben: Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt (10,75 oder 10.75), auch als Bruch (3/16). Bitmuster mit oder ohne Leerzeichen und Komma (1010,1100).
Hilfe holen: Tipp zeigt gestufte Hinweise – nimm immer nur den nächsten. Die Lösung erst ansehen, wenn du es selbst versucht hast.
Festigen: Mit Neue Aufgaben erhältst du frische, gleich schwierige Aufgaben.

Empfohlener Lernweg

Das Q4-FormatDarstellung · Stufe 1
Umrechnen binär ↔ dezimalDarstellung · Stufe 2
Wertebereich und AuflösungDarstellung · Stufe 3
Näherungen (0,1)Darstellung · Stufe 4
Q4-Zahlen addierenRechnen · Stufe 1
Grenzen des WertebereichsRechnen · Stufe 2
Multiplizieren und Komma korrigierenRechnen · Stufe 3

1 · Festkommazahlen: das vereinbarte Komma

Um Bruchzahlen darzustellen, wird vorab vereinbart, wie viele Stellen eines Bitmusters hinter dem Komma stehen. Die Stellenwerte hinter dem Komma setzen die Zweierpotenzen einfach fort: 2⁻¹ = 0,5, 2⁻² = 0,25 usw. Auf dieser Seite gilt das Format Q4: 8 Bit, davon 4 Nachkommastellen.

Stelle	8	7	6	5	4	3	2	1
2er-Potenz	2³	2²	2¹	2⁰	2⁻¹	2⁻²	2⁻³	2⁻⁴
dezimal	8	4	2	1	0,5	0,25	0,125	0,0625

Das Komma liegt zwischen Stelle 5 und Stelle 4. Die Stellen werden wie auf dem Übungsblatt von rechts mit 1 beginnend gezählt.

Das Komma wird nicht gespeichert. Es steckt nicht im Bitmuster, sondern in der Vereinbarung über das Format. Qk bedeutet: k Nachkommastellen.

Das Muster 0110 0110 bedeutet je nach Vereinbarung:

als Ganzzahl (Q0): 102
als Q2 (Komma nach 2 Stellen): 102 / 4 = 25,5
als Q4 (Komma nach 4 Stellen): 0110,0110 = 102 / 16 = 6,375

Üben: Darstellung, Stufe 1 →

2 · Binär → dezimal

Weg A: Vor- und Nachkommateil getrennt

Werte die vier Stellen vor dem Komma mit 8 · 4 · 2 · 1 aus, die vier Stellen dahinter mit 0,5 · 0,25 · 0,125 · 0,0625, und addiere.

Weg B: Musterwert durch 16

Lies das ganze Muster als Ganzzahl und teile durch 2⁴ = 16.

Wert = Musterwert : 2^k – bei Q4 also Musterwert : 16.

1010,1100

Weg A: 1010 = 8 + 2 = 10; 1100 = 0,5 + 0,25 = 0,75 → 10,75

Weg B: 1010 1100 = 172; 172 : 16 = 10,75

Der Nachkommateil 0110 ist nicht 0,6! Er bedeutet 0,25 + 0,125 = 0,375 (also 6/16).

Ausprobieren: Q4-Baukasten

Tippe auf die Bits, um sie umzuschalten. Mit „+ 1 Schritt“ gehst du im Raster um 0,0625 weiter.

Üben: Darstellung, Stufe 2 →

3 · Dezimal → binär

Für Q4: Ganzzahlteil und Nachkommateil · 16

Ganzzahlteil wie gewohnt in 4 Bit umwandeln.
Nachkommateil mit 16 multiplizieren. Das Ergebnis (0 bis 15) als 4-Bit-Muster schreiben.
Beide Nibbles zusammensetzen.

6,375: 6 = 0110; 0,375 · 16 = 6 = 0110 → 0110,0110

Allgemein: wiederholt mit 2 multiplizieren

Nachkommateil verdoppeln. Die Ziffer vor dem Komma ist das nächste Bit, mit dem Rest hinter dem Komma geht es weiter – bis der Rest 0 ist.

0,375 · 2 = 0,75 → 0,75 · 2 = 1,5 → 0,5 · 2 = 1,0

Bits von oben nach unten: 0,011 → in Q4: 0110

Nachkommateil · 2: Die Stelle vor dem Komma liefert das nächste Bit. Die Bits werden von oben nach unten gelesen.

Üben: Darstellung, Stufe 2 →

4 · Wertebereich und Auflösung

Mit endlich vielen Bits gibt es einen größten Wert und einen kleinsten Abstand zwischen zwei Nachbarn (die Auflösung). Dazwischen liegt nichts – die darstellbaren Zahlen bilden ein Raster.

Bei n Bit mit k Nachkommastellen:
Auflösung = 2^−k
größter Wert = (2ⁿ − 1) · 2^−k

Q4 mit 8 Bit: Auflösung 2⁻⁴ = 0,0625; größter Wert 1111,1111 = 255 / 16 = 15,9375.

8 Bit als	Auflösung	größter Wert
Q0	1	255
Q2	0,25	63,75
Q4	0,0625	15,9375
Q6	0,015625	3,984375

Bei gleicher Bitzahl gilt: mehr Nachkommastellen → feineres Raster, aber kleinerer Wertebereich.

Üben: Darstellung, Stufe 3 →

5 · Nicht alles ist darstellbar: Näherungen

Wendet man das Verdoppeln auf 0,1 an, bricht die Rechnung nie ab:

Rechnung	Bit
0,1 · 2 = 0,2	0
0,2 · 2 = 0,4	0
0,4 · 2 = 0,8	0
0,8 · 2 = 1,6	1
0,6 · 2 = 1,2	1
0,2 · 2 = 0,4	0 – der Rest 0,2 war schon da!

Also ist 0,1 = 0,000110011…₂ – periodisch mit der Periode 0011.

Exakt darstellbar sind nur Brüche, deren Nenner (vollständig gekürzt) eine Zweierpotenz ist. In Q4 sind das genau die Vielfachen von 1/16 bis 15,9375.

0,75 = 3/4 → exakt (0000,1100).
0,5 = 5/10 = 1/2 → exakt.
0,1 = 1/10 → Nenner enthält den Faktor 5 → nur näherungsweise: In Q4 liegen die Nachbarn 0,0625 und 0,125.

Deshalb liefert auch ein Computer bei 0,1 + 0,2 nicht exakt 0,3 – dasselbe Problem steckt in den Gleitkommazahlen.

Üben: Darstellung, Stufe 4 →

6 · Addition

Haben beide Zahlen dasselbe Format, steht das Komma an derselben Stelle. Du addierst also ganz normal spaltenweise von rechts nach links – Überträge wandern dabei auch über das Komma.

Gleiches Format → Komma bleibt, wo es ist. Kontrolliere das Ergebnis immer mit einer Probe im Zehnersystem.

Wird die Summe größer als 15,9375, braucht das Ergebnis eine neunte Stelle. Ein 8-Bit-Speicher verliert sie: 1000,0000 + 1000,0000 (8 + 8) ergibt dann 0000,0000.

3,75 + 4,3125:

  1111 1       ← Überträge
  0011,1100   (3,75)
+ 0100,0101   (4,3125)
───────────
  1000,0001   (8,0625)

Probe: 3,75 + 4,3125 = 8,0625 und 1000,0001 = 8 + 0,0625 ✓

Üben: Rechnen, Stufe 1 → Üben: Rechnen, Stufe 2 →

7 · Multiplikation und Komma-Korrektur

Schriftlich multipliziert wird wie im Zehnersystem: Für jede 1 im zweiten Faktor wird der erste Faktor passend verschoben hingeschrieben, dann werden alle Zeilen addiert.

Aber: (a · 2⁻⁴) · (b · 2⁻⁴) = a · b · 2⁻⁸. Das Rohprodukt hat 8 Nachkommastellen.

Q4 · Q4 = Q8. Das Rohprodukt um 4 Stellen nach rechts schieben (= durch 16 teilen), dann ist es wieder eine Q4-Zahl.

Aus dem Zehnersystem bekannt: 2,5 · 1,4 – rechne 25 · 14 = 350 und setze das Komma nach 1 + 1 = 2 Nachkommastellen: 3,50.

2,5 · 1,5 = 0010,1000 · 0001,1000

  0001 0100 0000   (verschoben um 3)
+ 0010 1000 0000   (verschoben um 4)
────────────────
  0011 1100 0000   Rohprodukt (Q8)

4 Stellen nach rechts schieben: 0011,1100 = 3 + 0,75 = 3,75 ✓

Vorschnell als Q4 gelesen wäre das Rohprodukt 960 / 16 = 60 – sechzehnmal zu groß.

Beim Schieben fallen die 4 rechten Bits weg. Sind sie nicht alle 0, geht Genauigkeit verloren – das Ergebnis wird abgeschnitten. Die Übungsaufgaben sind so gewählt, dass nichts verloren geht.

Üben: Rechnen, Stufe 3 →

8 · Typische Stolperfallen

Muster als Ganzzahl gelesen: 1010,1100 ist 10,75, nicht 172.
Nachkommanibble dezimal gelesen: ,0110 ist 0,375 und nicht 0,6.
„Das Komma ist gespeichert“: Nein – nur das Format legt es fest.
Wertebereich übersehen: 16 ist zwar „glatt“, passt aber nicht in Q4 (Maximum 15,9375).
Komma nach der Multiplikation nicht korrigiert: Q4 · Q4 ergibt Q8.
„Mit mehr Bits wird 0,1 exakt“: Mehr Bits verbessern nur die Näherung – exakt wird sie nie.

Ausblick: Negative Festkommazahlen werden wie ganze Zahlen im Zweierkomplement gespeichert – siehe Übungsseite Binäres Rechnen.

Hintergrund für Lehrkräfte: Intelligentes Üben und Verortung

Dieses Übungsset folgt den Prinzipien des intelligenten Übens (nach Leuders/Bruder): Üben ist nicht bloßes Wiederholen, sondern systematisches Vertiefen mit Variation, Feedback und Reflexion. Konkret:

Wissensbasis vor dem Üben: Der Reiter Informationen bündelt die Grundlagen mit Merksätzen, durchgerechneten Beispielen, einem interaktiven Q4-Baukasten und typischen Stolperfallen; ein Lernweg verknüpft die Abschnitte mit den Übungsstufen.
Notation vor Rechnung: Die erste Stufe klärt die Q4-Vereinbarung (Stellenwerte, festes Komma), bevor gerechnet wird – das größte Fehlerpotenzial bei Festkommazahlen ist die Vorstellung, das Komma sei Teil des Musters.
Gestufte Schwierigkeit in kleinen Schritten: Sieben Stufen verteilen sich auf zwei Übungsreiter (Darstellung: Format, Umrechnen, Wertebereich/Auflösung, Näherungen; Rechnen: Addition, Grenzen des Wertebereichs, Multiplikation mit Komma-Korrektur). Jede Stufe fügt genau eine neue Schwierigkeit hinzu.
Aufgabenvariation: Die Rechenaufgaben werden zufallsgeneriert. Die Leitbeispiele des Übungsblatts (1010,1100; 6,375; die Additions- und Multiplikationspaare) sind bewusst statisch und immer enthalten. Antwortoptionen von Auswahlfragen werden gemischt.
Unmittelbares, fehlerspezifisches Feedback: Die Prüffunktion erkennt typische Fehldeutungen (Muster als Ganzzahl gelesen, falsches Format angenommen, Rohprodukt nicht korrigiert) und nennt bei Bitmustern die erste abweichende Stelle von rechts – dort, wo beim Rechnen der Fehler entstand.
Gestufte Hilfen (Hilfe zur Selbsthilfe): Pro Aufgabe eine Tipp-Hierarchie vom Strategiehinweis bis zum konkreten nächsten Rechenschritt – erst auf Klick.
Musterlösungen mit Erklärungswissen: Stellenwert-Auswertung, Spaltenrechnung mit Übertragszeile, die Skalen-Betrachtung (· 2⁻⁴) und die dezimale Probe.
Worked Examples und Merksätze: Zu jeder Stufe ein vollständig durchgerechnetes Beispiel und ein Merksatz vor der Selbstbearbeitung.
Anwendung und Reflexion: Wertebereichsgrenzen (16,0 passt nicht!), die Nicht-Darstellbarkeit von 0,1 und die Komma-Korrektur nach der Multiplikation verlangen Bewerten, nicht nur Rechnen.
Selbstüberwachung: Fortschrittsanzeigen in den Reitern und in der Stufenleiste machen den Lernstand sichtbar.

Fachlicher Hintergrund und Verortung

Inhalt und Notation folgen dem Übungsblatt Zahldarstellungen – Rationale Zahlen ℚ, Festkommadarstellung (Kimmig, 04.01.2021, ZPG Informatik): Q4-Notation, Wertigkeitstabelle mit 2er-Potenz- und Dezimalzeile, Umrechnungsaufgaben, Wertebereich, Auflösung, Näherung von 0,1, Addition und schriftliche Multiplikation mit Korrektur. Im Bildungsplan BP2016BW-ALLG-GYM-INF gehört das Thema zur Bitebene (3.2.1.1): Zahlendarstellungen angeben und interpretieren, schriftlich rechnen und die Einschränkungen beim Rechnen mit endlicher Stellenzahl erläutern. Die Seite verzichtet bewusst auf vorzeichenbehaftete Festkommazahlen; deren natürliche Fortsetzung ist die Zweierkomplement-Darstellung (Übungsseite „Binäres Rechnen“).

Einsatz im Unterricht

Einsetzbar in Einzel-, Partner- oder Stillarbeit (etwa 20–30 Minuten), auch als Hausübung; läuft im Browser auf Rechner, Tablet und Smartphone.
Direktlinks auf einzelne Stufen sind möglich, z. B. binaere_festkommazahlen.html#c3 öffnet Rechnen Stufe 3.
In Partnerarbeit bewährt: Ein Partner notiert Muster, der andere „ist das Format“ und liest den Wert – dann Rollenwechsel. So wird die Vereinbarung des Kommas erfahrbar.
Leitfragen für den Abschluss: „Wo im Speicher steht eigentlich das Komma?“ und „Warum liefert der Rechner bei 0,1 + 0,2 nicht genau 0,3?“ – der Brückenschlag zu Gleitkommazahlen.