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Binäres Rechnen

Addition und Subtraktion im Binärsystem – vom sicheren Grundfakten-Drill bis zur Overflow-Analyse im Zweierkomplement. Erst nachlesen, dann in sieben Stufen üben – mit beliebig vielen Aufgaben.

Daten & Codierung – Kursstufe
🎯 Worum geht's? Klasse 11–13 · mehrere Unterrichtsstunden

Nach dieser Seite kannst du …

  • Binärzahlen schriftlich addieren und subtrahieren – auch mit Übertrag und Borgen
  • negative Zahlen im Einer- und Zweierkomplement darstellen und ablesen
  • begründen, warum man eine Subtraktion als Addition des Zweierkomplements rechnen kann
  • erkennen, wann ein Ergebnis nicht mehr in die Stellenzahl passt (Überlauf)

Vorwissen: Binärzahlen in Dezimalzahlen umrechnen und umgekehrt, schriftliches Addieren im Dezimalsystem

So arbeitest du mit dieser Seite

  1. Nachlesen: Hier im Reiter Informationen findest du alle Regeln mit Merksätzen und durchgerechneten Beispielen.
  2. Üben: In den Reitern Addition und Subtraktion rechnest du zuerst auf Papier, gibst das Ergebnis ein und tippst auf Prüfen (oder Enter).
  3. Hilfe holen: Tipp zeigt gestufte Hinweise – nimm immer nur den nächsten. Die Lösung erst ansehen, wenn du es selbst versucht hast.
  4. Fehler finden: Bei einer falschen Eingabe nennt die Rückmeldung die erste falsche Bit-Position von rechts – dort lohnt sich der Blick auf Übertrag oder Borge.
  5. Festigen: Mit Neue Aufgaben erhältst du frische, gleich schwierige Aufgaben. Übe, bis eine Stufe sicher sitzt.

Empfohlener Lernweg

  1. Grundfakten 1 + 1 = 10Addition · Stufe 1
  2. Addieren mit ÜberträgenAddition · Stufe 2
  3. Subtrahieren mit BorgenSubtraktion · Stufe 1
  4. Einer- und ZweierkomplementSubtraktion · Stufe 2
  5. Subtrahieren wie die MaschineSubtraktion · Stufe 3
  6. Negative Zahlen addierenAddition · Stufe 3
  7. Overflow erkennenAddition · Stufe 4

Inhalt dieses Reiters

1 · Stellenwerte im Binärsystem

Das Binärsystem kennt nur die Ziffern 0 und 1. Wie im Zehnersystem hat jede Stelle einen festen Stellenwert – nur verdoppelt er sich von Stelle zu Stelle, statt sich zu verzehnfachen.

Bit-Position76543210
Stellenwert2726252423222120
dezimal1286432168421

Bit-Positionen werden von rechts ab 0 gezählt. Bit 0 (ganz rechts) heißt LSB, das höchste Bit (bei 8 Bit: Bit 7) heißt MSB. Zur besseren Lesbarkeit schreibt man 8 Bit in zwei Vierergruppen: 1011 0010.

1011 0010 = 128 + 32 + 16 + 2 = 178.

Umgekehrt: 45 = 32 + 8 + 4 + 1 → 0010 1101.

2 · Schriftliche Addition

Du addierst spaltenweise von rechts nach links – genau wie im Zehnersystem. Weil es nur 0 und 1 gibt, entsteht schon bei 1 + 1 ein Übertrag.

SpalteSummeErgebnisbitÜbertrag
0 + 0000
0 + 1110
1 + 11001
1 + 1 + 11111

1 + 1 = 10: schreibe 0, übertrage 1.
1 + 1 + 1 = 11: schreibe 1, übertrage 1.

Notiere jeden Übertrag sofort klein über der nächsten Spalte links.

0111 + 0101 (also 7 + 5):

  111        ← Überträge
  0111
+ 0101
──────
  1100

Bit 0: 1 + 1 = 10 → 0, Übertrag 1. Bit 1: 1 + 0 + 1 = 10 → 0, Übertrag 1. Bit 2: 1 + 1 + 1 = 11 → 1, Übertrag 1. Bit 3: 0 + 0 + 1 = 1.

Probe: 1100 = 8 + 4 = 12 = 7 + 5 ✓

Mit n Bit hat auch das Ergebnis nur n Stellen. Ein Übertrag über das höchste Bit hinaus passt nicht mehr hinein und fällt weg.

Üben: Addition, Stufe 1 → Üben: Addition, Stufe 2 →

3 · Subtraktion mit Borgen

Auch die Subtraktion läuft spaltenweise von rechts nach links. Ist die obere Ziffer zu klein, wird bei der linken Nachbarspalte geborgt: Die obere Ziffer wird um 102 = 2 größer, die linke Spalte muss dafür 1 mehr abziehen.

SpalteErgebnisbitBorge nach links
0 − 0, 1 − 10nein
1 − 01nein
0 − 1 → 10 − 11ja
0 − 1 − 1 (Borge) → 10 − 1 − 10ja

0 − 1 geht nicht: Borge links. Aus der 0 wird 102, also 10 − 1 = 1. Die linke Spalte zieht dafür 1 zusätzlich ab.

1010 − 0110 (also 10 − 6):

  1010
− 0110
──────
  0100

Bit 0: 0 − 0 = 0. Bit 1: 1 − 1 = 0. Bit 2: 0 − 1 geht nicht → borgen: 10 − 1 = 1. Bit 3: 1 − 0 − 1 (Borge) = 0.

Probe: 0100 = 4 = 10 − 6 ✓

Borge-Kette: Steht links auch eine 0, muss diese selbst weiterborgen. Bei 1000 − 0001 wandert die Borge durch alle Nullen bis zur 1: Ergebnis 0111. Genau diese mühsame Kette ist der Grund, warum Rechner anders subtrahieren (Abschnitt 5).

Üben: Subtraktion, Stufe 1 →

4 · Negative Zahlen: Einer- und Zweierkomplement

Ein Rechner speichert kein Minuszeichen – nur Bits. Deshalb wird eine feste Bitbreite n vereinbart (hier meist 8 Bit), und ein Teil der Bitmuster steht für negative Zahlen.

Einerkomplement

Alle Bits invertieren (aus 0 wird 1, aus 1 wird 0): 5 = 0000 0101 → 1111 1010.

Nachteil: Es gibt zwei Nullen (0000 0000 und 1111 1111), und beim Addieren sind Korrekturen nötig. Deshalb rechnen Computer mit dem Zweierkomplement.

Zweierkomplement

Negieren = alle Bits invertieren, dann 1 addieren. Das funktioniert in beide Richtungen: Aus −x wird so wieder x.

−5 in 8 Bit:

  1. 5 als 8-Bit-Muster: 0000 0101
  2. invertieren: 1111 1010
  3. plus 1: 1111 1011 = −5

Erst auf n Bit auffüllen, dann invertieren! Wer 101 statt 0000 0101 invertiert, verliert die führenden Einsen.

Abkürzung: Von rechts bis einschließlich zur ersten 1 abschreiben, alle Bits links davon invertieren. Beispiel 40 = 0010 1000 → −40 = 1101 1000.

Muster interpretieren

  • MSB = 0: positive Zahl (oder 0) – wie gewohnt ablesen.
  • MSB = 1: negative Zahl. Wert = Musterwert − 2n, bei 8 Bit also Musterwert − 256.

Im Zweierkomplement hat das MSB ein negatives Gewicht: bei 8 Bit −128, alle anderen Bits behalten ihren positiven Stellenwert.

1110 0000 = −128 + 64 + 32 = −32.
Ebenso: Musterwert 224 − 256 = −32.

Wertebereich

Mit n Bit: −2n−1 bis 2n−1 − 1. Bei 4 Bit: −8 … 7, bei 8 Bit: −128 … 127. Es gibt eine negative Zahl mehr als positive, weil die 0 zur „positiven Hälfte“ gehört.

Alle 4-Bit-Muster auf einen Blick

MustervorzeichenlosZweierkompl.
000000
000111
001022
001133
010044
010155
011066
011177
MustervorzeichenlosZweierkompl.
10008−8
10019−7
101010−6
101111−5
110012−4
110113−3
111014−2
111115−1
Ausprobieren: Bit-Baukasten (8 Bit)

Tippe auf die Bits, um sie umzuschalten. Probiere „Invertieren“ und danach „+ 1“ – so entsteht das Zweierkomplement.

Üben: Subtraktion, Stufe 2 →

5 · Subtraktion im Rechner: a − b = a + (−b)

Ein Prozessor braucht kein eigenes Subtrahierwerk: Er bildet das Zweierkomplement von b und addiert es zu a. Ein Übertrag über das MSB hinaus wird verworfen.

13 − 5 in 8 Bit: −5 = 1111 1011

  0000 1101   (13)
+ 1111 1011   (−5)
───────────
1 0000 1000   (8)

Die vorderste 1 ist der Übertrag über das MSB – er wird verworfen. Ergebnis 0000 1000 = 8 ✓

5 − 13 in 8 Bit: −13 = 1111 0011

  0000 0101   (5)
+ 1111 0011   (−13)
───────────
  1111 1000

Kein Übertrag über das MSB. MSB = 1 → negativ: 248 − 256 = −8 ✓

a − b = a + Zweierkomplement(b). Den Übertrag über das MSB verwirfst du einfach.

Für a ≥ 0 und b > 0 gilt: Es entsteht genau dann ein Übertrag über das MSB, wenn das Ergebnis nicht negativ ist.

Üben: Subtraktion, Stufe 3 → Üben: Addition, Stufe 3 →

6 · Overflow – wenn das Ergebnis nicht mehr hineinpasst

Mit 8 Bit im Zweierkomplement lassen sich nur −128 bis 127 darstellen. Liegt das wahre Ergebnis außerhalb, liefert die Hardware trotzdem 8 Bit – mit falschem Wert und meist falschem Vorzeichen. Das nennt man Overflow (Überlauf).

96 + 47 (beide positiv):

  0110 0000   (96)
+ 0010 1111   (47)
───────────
  1000 1111

MSB = 1 → gelesen als −113. Richtig wäre 143 > 127: Overflow.

(−100) + (−50) (beide negativ):

  1001 1100   (−100)
+ 1100 1110   (−50)
───────────
1 0110 1010

Der Übertrag vorn fällt weg. MSB = 0 → gelesen als +106. Richtig wäre −150 < −128: Overflow.

Vorzeichenregel: Overflow kann nur entstehen, wenn beide Summanden dasselbe Vorzeichen haben – und er liegt vor, wenn das Ergebnis das andere Vorzeichen trägt.

Übertragsregel: Overflow ⇔ Übertrag in das MSB ≠ Übertrag aus dem MSB.

Ein Übertrag aus dem MSB ist kein Beweis für Overflow. Bei 13 − 5 (Abschnitt 5) entsteht er auch – und das Ergebnis stimmt.

Üben: Addition, Stufe 4 →

7 · Typische Stolperfallen

  • Übertrag vergessen oder in die falsche Spalte geschrieben – notiere ihn sofort über der nächsten Spalte.
  • Borge-Kette abgebrochen: Eine geborgte 0 muss selbst weiterborgen.
  • „+ 1“ vergessen: Nur invertieren ergibt das Einerkomplement, nicht −x.
  • Bitbreite missachtet: Vor dem Invertieren auf n Bit mit führenden Nullen auffüllen.
  • Muster vorzeichenlos gelesen: Bei MSB = 1 im Zweierkomplement 256 abziehen.
  • Übertrag aus dem MSB für Overflow gehalten: Entscheidend sind die Vorzeichen (bzw. Übertrag in vs. aus dem MSB).

Kontrolliere jedes Ergebnis mit einer Probe im Zehnersystem – das deckt fast jeden dieser Fehler auf.

Hintergrund für Lehrkräfte: Intelligentes Üben und Bildungsplan

Dieses Übungsset folgt den Prinzipien des intelligenten Übens (nach Leuders/Bruder): Üben ist nicht bloßes Wiederholen, sondern systematisches Vertiefen mit Variation, Feedback und Reflexion. Konkret:

  • Wissensbasis vor dem Üben: Der Reiter Informationen bündelt Regeln, Merksätze, durchgerechnete Beispiele, einen interaktiven Bit-Baukasten und typische Stolperfallen. Ein empfohlener Lernweg verknüpft die Abschnitte mit den passenden Übungsstufen.
  • Automatisierung vor Komplexität: Der Einstieg im Reiter Addition drillt die Grundfakten (1+1=10, 1+1+1=11). Wer sie sicher abrufen kann, hat Arbeitsgedächtniskapazität frei für die Übertragungslogik in den schwereren Stufen.
  • Gestufte Schwierigkeit in kleinen Schritten: Sieben Stufen verteilen sich auf die beiden Übungsreiter (Addition: Grundfakten, Überträge, negative Zahlen, Overflow; Subtraktion: Borgen, Komplemente, Subtraktion über das Zweierkomplement). Jede Stufe fügt genau eine neue Schwierigkeit hinzu. Der Lernweg führt vom Borgen über das Zweierkomplement zurück zur Addition negativer Zahlen.
  • Aufgabenvariation: Die Aufgaben werden zufallsgeneriert und variieren bei gleich bleibendem Grundgedanken die Oberfläche (Zahlen, Kontexte, Vorzeichenkombinationen). Antwortoptionen von Auswahlfragen werden gemischt.
  • Unmittelbares, fehlerspezifisches Feedback: Die Rückmeldung nennt die erste abweichende Bit-Position von rechts (dort, wo beim Rechnen der Fehler entstand) und erkennt typische Fehldeutungen (z. B. vorzeichenfreie Interpretation eines Zweierkomplementmusters).
  • Gestufte Hilfen (Hilfe zur Selbsthilfe): Pro Aufgabe gibt es eine Tipp-Hierarchie vom Strategiehinweis bis zum konkreten nächsten Rechenschritt – erst auf Klick.
  • Musterlösungen mit Erklärungswissen: Vollständiges Spaltenrechnen mit Übertrags- bzw. Borgezeile, Einzelschritte und Probe im Zehnersystem.
  • Worked Examples und Merksätze: Zu jeder Stufe ein durchgerechnetes Beispiel und ein Merksatz vor der Selbstbearbeitung (Abbau kognitiver Last).
  • Anwendung und Reflexion: Der Overflow-Abschluss verankert das Verfahren in einem Anwendungskontext (Zähler eines Fahrzeugs) und verlangt die Bewertung der Grenzen endlicher Stellenzahl.
  • Selbstüberwachung: Fortschrittsanzeigen in den Reitern und in der Stufenleiste machen den Lernstand sichtbar.

Bezug zum Bildungsplan

Bildungsplan 2016 (Schulversuchsfassung), Gymnasium, Informatik, 3.2.1.1 Bitebene, Klassen 11/12 – die Schülerinnen und Schüler können:

  • (1) negative Zahlen in ihrer Einerkomplement- und Zweierkomplementdarstellung angeben und interpretieren (Informationen Abschnitt 4; Reiter Subtraktion, Stufe 2; Reiter Addition, Stufe 3),
  • (2) Addition und Subtraktion von Binärzahlen in Zweierkomplementdarstellung schriftlich durchführen und das Ergebnis interpretieren (Abschnitte 2–5; beide Reiter, Stufen 2 bis 4),
  • (3) Einschränkungen beim Rechnen mit endlicher Stellenzahl erläutern, zum Beispiel Overflow (Abschnitt 6; Reiter Addition, Stufe 4).

Einsatz im Unterricht

  • Einsetzbar in Einzel-, Partner- oder Stillarbeit (etwa 20–30 Minuten), auch als Hausübung; läuft im Browser auf Rechner, Tablet und Smartphone.
  • Direktlinks auf einzelne Stufen sind möglich, z. B. binaeres_rechnen.html#l5 öffnet Subtraktion Stufe 3.
  • In Partnerarbeit bewährt: Ein Partner rechnet, der andere spielt „die Maschine“ und interpretiert das Muster – dann Rollenwechsel.
  • Leitfrage für den Abschluss: „Warum braucht ein Rechner keine Subtraktionsschaltung?“