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Prozentrechnung

Klasse 7
Dreisatz & interaktive Tabellen zum Üben

Mathematik Klasse 7 Übung

🎯 Worum geht's? Klasse 7 · mehrere Unterrichtsstunden

Nach dieser Seite kannst du …

Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz unterscheiden
jede der drei Größen mit dem Dreisatz berechnen
Zinsen für ein Jahr und für mehrere Jahre berechnen

Vorwissen: Bruchrechnung, Dreisatz

🎯 Was ist Prozentrechnung?

Prozent bedeutet „von Hundert" (lat. per centum). Mit Prozentrechnung beschreiben wir Anteile eines Ganzen. Das begegnet uns im Alltag überall: beim Einkaufen (Rabatte), beim Sparen (Zinsen), in der Statistik und in den Nachrichten.

1 % = 1 Hundertstel = 0,01 = 1/100

Beispiel: 25 % der Schüler einer Klasse mit 28 Schülern sind krank. → 25 % von 28 = 7 Schüler sind krank.

📐 Die drei Grundgrößen

🔢 Grundwert (G)

Das Ganze, auf das sich der Prozentsatz bezieht. Er entspricht immer 100 %.

G = W ÷ p × 100

Der Grundwert steht oft nach „von", „des" oder „der".

📏 Prozentwert (W)

Der Teil des Ganzen, der dem Prozentsatz entspricht.

W = G × p ÷ 100

Der Prozentwert hat dieselbe Einheit wie der Grundwert.

💯 Prozentsatz (p)

Gibt an, wie viel Prozent der Teil vom Ganzen ausmacht.

p = W ÷ G × 100

Der Prozentsatz wird mit dem Zeichen % angegeben.

📋 Der Dreisatz – dein wichtigstes Werkzeug!

Beim Dreisatz nutzen wir eine Tabelle mit zwei Spalten: links der Prozentsatz, rechts der zugehörige Wert. Wir wissen immer: 100 % ↔ Grundwert (G).

Beim Dreisatz steht 100 % immer gegenüber dem Grundwert G. Dann rechne proportional!

🟢 Prozentwert berechnen (W = ?)

Prozentsatz	Wert
100 %	G (Grundwert)
p %	W = ? ← gesucht

Aufgabe: Wie viel sind 30 % von 200 €?
100 % → 200 € | 1 % → 200 ÷ 100 = 2 € | 30 % → 2 × 30 = 60 €

W = G ÷ 100 × p

🔵 Grundwert berechnen (G = ?)

Prozentsatz	Wert
100 %	G = ? ← gesucht
p %	W (Prozentwert)

Aufgabe: 40 € sind 25 % von welchem Betrag?
25 % → 40 € | 1 % → 40 ÷ 25 = 1,60 € | 100 % → 1,60 × 100 = 160 €

G = W ÷ p × 100

🟣 Prozentsatz berechnen (p = ?)

Prozentsatz	Wert
100 %	G (Grundwert)
p % = ? ← gesucht	W (Prozentwert)

Aufgabe: 15 von 60 Schülern fahren Fahrrad. Wie viel Prozent?
60 → 100 % | 1 → 100 ÷ 60 ≈ 1,667 % | 15 → 1,667 × 15 = 25 %

p = W ÷ G × 100

🏦 Zinsrechnung

Zinsen sind das Entgelt für geliehenes oder angelegtes Geld. Das Kapital (K) entspricht dem Grundwert, der Zinssatz (p %) dem Prozentsatz und die Zinsen (Z) dem Prozentwert.

📅 Zinsen für 1 Jahr

Z = K × p ÷ 100

Beispiel: K = 500 €, p = 3 %
Z = 500 × 3 ÷ 100 = 15 €

⏳ Zinsen für t Jahre

Z = K × p × t ÷ 100

Beispiel: K = 500 €, p = 3 %, t = 4 Jahre
Z = 500 × 3 × 4 ÷ 100 = 60 €

Endkapital = Kapital + Zinsen: K_end = K + Z

Größe	Symbol	Bedeutung	Formel
Kapital	K	Angelegtes / geliehenes Geld	K = Z ÷ p × 100
Zinssatz	p	Prozentualer Anteil pro Jahr	p = Z ÷ K × 100
Zeit	t	Anlagedauer in Jahren	t = Z ÷ (K × p ÷ 100)
Zinsen	Z	Gewinn / Kosten	Z = K × p × t ÷ 100

🔄 Zinseszinsrechnung

Beim Zinseszins werden die Zinsen am Ende jedes Jahres zum Kapital addiert und im nächsten Jahr mitverzinst. Das Kapital wächst exponentiell!

📈 Zinseszins-Formel

K_n = K₀ × (1 + p/100)ⁿ

K₀ = Anfangskapital · p = Zinssatz · n = Jahre · K_n = Endkapital

Beispiel: K₀ = 1 000 €, p = 5 %, n = 3 Jahre

Jahr	Kapital Anfang	Zinsen (5 %)	Kapital Ende
1	1 000,00 €	50,00 €	1 050,00 €
2	1 050,00 €	52,50 €	1 102,50 €
3	1 102,50 €	55,13 €	1 157,63 €

Einfache Zinsen: 1 000 + 3 × 50 = 1 150 € < 1 157,63 € (Zinseszins-Vorteil!)

Beim Zinseszins bringen die Zinsen selbst wieder Zinsen – das Kapital wächst schneller!

📋 Formel-Übersicht

Gesuchte Größe	Formel	Merkhilfe
Prozentwert W	W = G × p ÷ 100	Grundwert × Prozentsatz ÷ 100
Grundwert G	G = W × 100 ÷ p	Prozentwert × 100 ÷ Prozentsatz
Prozentsatz p	p = W × 100 ÷ G	Prozentwert × 100 ÷ Grundwert
Zinsen Z	Z = K × p × t ÷ 100	Kapital × Zinssatz × Zeit ÷ 100
Endkapital K_n	K_n = K₀ × (1 + p/100)ⁿ	Anfangskapital × Wachstumsfaktor^Laufzeit

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