Bruchrechnen
Erweitern, Kürzen und die vier Grundrechenarten mit Brüchen – erst nachlesen, dann Schritt für Schritt üben: mit Päckchen zum Entdecken, offenen Aufgaben und Fehlersuche.
Mathematik – Klasse 6🎯 Worum geht's? Klasse 6 · mehrere Unterrichtsstunden
Nach dieser Seite kannst du …
- Brüche erweitern, kürzen und miteinander vergleichen
- Brüche und gemischte Zahlen addieren und subtrahieren
- Brüche multiplizieren und dividieren – auch in Sachaufgaben
- typische Fehler erkennen und deine Rechenwege begründen
Vorwissen: Brüche als Anteile, Teiler und Vielfache, Einmaleins
So arbeitest du mit dieser Seite
- Nachlesen: Hier findest du alle Regeln mit Merksätzen und durchgerechneten Beispielen.
- Üben: Jeder Reiter hat drei Stufen – vom Leichten zum Schweren. Rechne im Heft, trage das Ergebnis ein und tippe auf Prüfen.
- Brüche eingeben: Zähler oben, Nenner unten. Bei gemischten Zahlen trägst du die Ganzen ins Feld links ein. Ergebnisse immer vollständig kürzen.
- Hilfe holen: Tipp zeigt gestufte Hinweise. Die Lösung erst ansehen, wenn du es selbst versucht hast.
- Entdecken und begründen: Bei Päckchen lohnt es sich, nach Mustern zu suchen. Bei offenen Aufgaben gibt es viele richtige Antworten. Bei Finde den Fehler erklärst du, was schiefgelaufen ist.
Inhalt dieses Reiters
1 · Was ist ein Bruch?
Ein Bruch beschreibt einen Anteil an einem Ganzen. Der Nenner (unten) sagt, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wird. Der Zähler (oben) sagt, wie viele dieser Teile man nimmt.
3/4: Das Ganze wird in 4 gleich große Teile zerlegt, davon nimmt man 3.
Zähler über dem Bruchstrich, Nenner darunter. Der Bruchstrich bedeutet auch „geteilt durch“: 3/4 = 3 : 4.
Echte, unechte Brüche und gemischte Zahlen
- Echter Bruch: Zähler kleiner als Nenner, z. B. 2/3 (weniger als ein Ganzes).
- Unechter Bruch: Zähler größer als Nenner, z. B. 7/4 (mehr als ein Ganzes).
- Gemischte Zahl: Ganze und Bruch zusammen, z. B. 1 3/4 (gelesen: „eins drei Viertel“).
Unecht → gemischt: 7/4: 7 : 4 = 1 Rest 3, also 7/4 = 1 3/4.
Gemischt → unecht: 2 1/3 = 2·3 + 1/3 = 7/3.
2 · Erweitern
Einen Bruch erweitern heißt: Zähler und Nenner mit derselben Zahl (≠ 0) multiplizieren. Der Wert bleibt gleich.
2/3 mit 4 erweitern: 2/3 = 2·4/3·4 = 8/12
Warum bleibt der Wert gleich? Jedes Teil wird in kleinere Teile zerlegt. Die Teile werden kleiner, dafür nimmt man entsprechend mehr davon:
1/2 = 2/4 = 4/8
Auf einen vorgegebenen Nenner erweitern
Erweiterungszahl = neuer Nenner : alter Nenner.
3/4 = ?/20: 20 : 4 = 5, also 3/4 = 15/20.
Gleichnamig machen und vergleichen
Brüche mit gleichem Nenner heißen gleichnamig. Man macht Brüche gleichnamig, indem man sie auf einen gemeinsamen Nenner erweitert – am einfachsten auf den Hauptnenner, das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner.
Was ist größer: 3/4 oder 5/6?
Vielfache von 6: 6, 12, … – 12 ist auch durch 4 teilbar. Hauptnenner 12.
3/4 = 9/12 und 5/6 = 10/12, also ist 5/6 größer.
Von zwei gleichnamigen Brüchen ist der mit dem größeren Zähler größer.
3 · Kürzen
Einen Bruch kürzen heißt: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen. Der Wert bleibt gleich. Kürzen ist die Umkehrung des Erweiterns.
12/18 mit 3 gekürzt: 12:3/18:3 = 4/6
Vollständig gekürzt mit dem ggT 6: 12/18 = 2/3
Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben. Kürzt man mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT), ist man in einem Schritt fertig.
Teilbarkeitsregeln helfen
| Teiler | Regel |
|---|---|
| 2 | Endziffer gerade (0, 2, 4, 6, 8) |
| 3 | Quersumme durch 3 teilbar |
| 4 | letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar |
| 5 | Endziffer 0 oder 5 |
| 9 | Quersumme durch 9 teilbar |
| 10 | Endziffer 0 |
Kürzen darf man nur mit einem gemeinsamen Teiler. Summanden oder einzelne Ziffern darf man nie „wegstreichen“: 2 + 3/2 + 5 ist nicht 3/5, sondern 5/7.
Stelle Zähler und Nenner ein. Mit „Erweitern“ und „Kürzen“ siehst du: Der gefärbte Teil bleibt gleich groß – nur die Einteilung ändert sich.
4 · Addieren und Subtrahieren
Gleichnamige Brüche
Gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler addiert (subtrahiert) und den Nenner beibehält.
3/8 + 1/8 = 3 + 1/8 = 4/8 = 1/2
7/10 − 3/10 = 4/10 = 2/5
Der Nenner wird nicht addiert! Er sagt nur, welche Teile man zählt: 3 Achtel + 1 Achtel = 4 Achtel – so wie 3 Äpfel + 1 Apfel = 4 Äpfel.
Ungleichnamige Brüche – in drei Schritten
- Gleichnamig machen (Hauptnenner suchen, beide Brüche erweitern),
- Zähler addieren bzw. subtrahieren, Nenner beibehalten,
- Ergebnis vollständig kürzen und ggf. als gemischte Zahl schreiben.
1/4 + 5/6: Hauptnenner 12
= 3/12 + 10/12 = 13/12 = 1 1/12
Gemischte Zahlen
Weg 1 – Ganze und Brüche getrennt:
1 1/2 + 2 2/3 = 3 + 3/6 + 4/6 = 3 + 7/6 = 4 1/6
Weg 2 – in unechte Brüche umwandeln:
3 1/4 − 1 3/4 = 13/4 − 7/4 = 6/4 = 1 1/2
Ist beim Subtrahieren der Bruchteil zu klein, tauscht man ein Ganzes um: 3 1/4 = 2 5/4. Dann geht 2 5/4 − 1 3/4 = 1 2/4 = 1 1/2.
5 · Multiplizieren
Bruch mal natürliche Zahl
Man multipliziert einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert. Der Nenner bleibt.
2/9 · 3 = 2·3/9 = 6/9 = 2/3
Denn: 2/9 + 2/9 + 2/9 = 6/9
„von“ bedeutet „mal“
2/3 von 3/4 einer Pizza = 2/3 · 3/4 = 6/12 = 1/2 Pizza.
Bruch mal Bruch
Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnet. Möglichst vor dem Ausrechnen kürzen!
4/9 · 3/8 = 4·3/9·8
Über Kreuz kürzen: 4 und 8 durch 4, 3 und 9 durch 3 → 1·1/3·2 = 1/6
Gemischte Zahlen zuerst in unechte Brüche umwandeln: 1 1/2 · 2/3 = 3/2 · 2/3 = 1.
„Malnehmen macht immer größer“ stimmt bei Brüchen nicht: 3/4 · 1/2 = 3/8 ist kleiner als 3/4. Mal einer Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis kleiner.
6 · Dividieren
Bruch durch natürliche Zahl
Man dividiert einen Bruch durch eine natürliche Zahl, indem man den Nenner mit der Zahl multipliziert.
3/4 einer Pizza für 3 Kinder: 3/4 : 3 = 3/4·3 = 3/12 = 1/4 für jedes Kind.
Der Kehrwert
Den Kehrwert eines Bruchs erhält man, indem man Zähler und Nenner vertauscht: Kehrwert von 2/5 ist 5/2. Bruch mal Kehrwert ergibt immer 1.
Bruch durch Bruch
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.
3/4 : 2/5 = 3/4 · 5/2 = 15/8 = 1 7/8
Warum? Teilen fragt: „Wie oft passt … hinein?“ 1/2 passt in 1 genau zweimal: 1 : 1/2 = 1 · 2 = 2. Probe: 2 · 1/2 = 1 ✓
Umgedreht wird nur der Bruch hinter dem Geteiltzeichen. Und: Teilen durch eine Zahl kleiner als 1 macht das Ergebnis größer.
7 · Überblick und Stolperfallen
| Rechenart | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Erweitern | Zähler und Nenner mal dieselbe Zahl | 2/3 = 8/12 |
| Kürzen | Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl | 12/18 = 2/3 |
| Addieren / Subtrahieren | gleichnamig machen, Zähler verrechnen, Nenner behalten | 1/4 + 1/6 = 5/12 |
| Multiplizieren | Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner | 2/3 · 3/4 = 1/2 |
| Dividieren | mit dem Kehrwert multiplizieren | 3/4 : 1/2 = 3/2 |
Typische Fehler – und wie du sie vermeidest
- Nenner addiert: 1/2 + 1/3 ≠ 2/5. Erst gleichnamig machen!
- Nur Zähler oder nur Nenner verändert beim Erweitern oder Kürzen – immer beide.
- Summanden gekürzt statt gemeinsamer Teiler.
- Kehrwert vergessen oder den falschen Bruch umgedreht.
- Gemischte Zahlen beim Multiplizieren nicht umgewandelt: 2 1/2 · 2 1/2 ist 6 1/4, nicht 4 1/4.
- Nicht vollständig gekürzt – kontrolliere jedes Ergebnis.
Überschlag und Probe decken viele Fehler auf: Die Summe zweier positiver Brüche ist größer als jeder Summand. Mal einer Zahl kleiner als 1 wird es kleiner, durch eine Zahl kleiner als 1 wird es größer.
Hintergrund für Lehrkräfte: Intelligentes Üben und Bildungsplan
Die Übungen folgen den Prinzipien des intelligenten Übens (nach Leuders, Bruder u. a.): Üben ist nicht bloßes Wiederholen, sondern ein Vertiefen mit Variation, Feedback und Reflexion.
Umsetzung der Prinzipien
- Beziehungsreiches Üben: In jedem Übungsreiter gibt es Päckchen, in denen sich ein Parameter systematisch verändert (z. B. 1/2 : 2, : 3, : 4 oder 1/6 + 1/6, + 2/6, + 3/6). Die Musterlösung macht das Muster explizit. Dazu kommen Entdeckeraufgaben wie „Was passiert mit 3/4 · x, wenn x kleiner als 1 ist?“ oder „1 : 1/n für wachsendes n“.
- Prozess- und inhaltsbezogene Kompetenzen verbinden: Neben dem Kalkül (Erweitern, Kürzen, Hauptnenner, Kehrwert) fordern Begründungsaufgaben das Argumentieren („Warum bleibt der Wert beim Erweitern gleich?“, „Warum multipliziert man mit dem Kehrwert?“), Sachaufgaben das Modellieren („von“ als mal, „Wie oft passt …?“ als geteilt) und offene Aufgaben das Problemlösen.
- Produktive und offene Aufgaben: „Gib einen Bruch zwischen … an“, „Finde zwei Brüche mit Summe 1“, „… mit Differenz 1/4“, „… mit Produkt 1/2“, „Drei Brüche, die sich zu … kürzen lassen“ – die Seite prüft hier die Bedingung, nicht eine feste Lösung. Finde den Fehler-Aufgaben in jedem Reiter (Nenner addiert, Summanden gekürzt, Ziffern gestrichen, falsch umgetauscht, Ganze und Brüche getrennt multipliziert, Kehrwert vergessen) regen zur Metakognition an.
- Vom Leichten zum Schweren: Je Reiter drei Stufen (Grundverfahren → Verknüpfung → Anwendung, Begründung, Fehleranalyse); Zufallsaufgaben mit „Neue Aufgaben“ erlauben beliebig viele Durchgänge bei gleichem Niveau.
- Fehlerspezifisches Feedback: Typische Fehlvorstellungen werden erkannt und benannt (z. B. „Zähler und Nenner addiert“, „nur den Zähler multipliziert“, „Kehrwert des ersten Bruchs“, „nicht vollständig gekürzt“).
- Gestufte Hilfen und Worked Examples: Tipp-Hierarchie je Aufgabe, ausführliche Musterlösungen, Beispiel und Merksatz je Stufe, dazu der Reiter Informationen mit Bruch-Baukasten.
Bezug zum Bildungsplan
Bildungsplan 2016 Baden-Württemberg, Mathematik, Gymnasium, Klassen 5/6: Leitidee Zahl – Variable – Operation (Bruchzahlen als Anteile deuten, erweitern, kürzen, ordnen; Grundrechenarten mit Brüchen) sowie die prozessbezogenen Kompetenzen Argumentieren und Beweisen, Problemlösen, Modellieren und Kommunizieren. Negative Brüche sind bewusst nicht enthalten (Klasse 7).
Einsatz im Unterricht
- Einzel-, Partner- oder Stillarbeit, Hausaufgabe oder Wiederholung; läuft im Browser auf Rechner, Tablet und Smartphone.
- Direktlinks auf Stufen, z. B.
bruchrechnen.html#a2(Addieren, Stufe 2) oder#info-div. - Offene Aufgaben eignen sich zum Vergleichen im Plenum: „Wer hat einen anderen Bruch gefunden? Wie bist du vorgegangen?“